Призываю в это пост Oh, Ramona.
Любите ли вы геометрию так, как её любит преподаватель информатики MIT Закари Абель? Математика — повсюду вокруг нас, и это вдохновляет Абеля на создание геометрических скульптур из обыденных предметов. Ниже — подборка из десяти моих любимых скульптур. Надеюсь, они позволят и вам почувствовать красоту математики.
Заходи по кат!"Скряга"
В этом тридцатипятифунтовом архитектурном достижении 4344 канцелярских зажима удерживают пенни на общую сумму $21.72 без клея или дополнительного каркаса.
Анимация демонстрирует трёхмерную структуру лучше, чем любое статичное фото. Вначале я не был уверен, что "Скряга" сможет поддерживать собственный вес, и фотографии этапов создания показывают моё постепенное эмпирическое исследование с целью выяснить это.
В большем масштабе поверхность разветвляется в соответствии с молекулярной решёткой алмаза (также известной как гранецентрированная кубическая решётка): в каждом узле находится атом углерода, а туннели обозначают связи. Это показывает только часть бесконечной повторяющейся структуры, но, увы, у меня нет столько зажимов!
В меньшем масштабе спирали из шести или семи зажимов закручиваются вдоль поверхности, как показано на фото. Большая часть этой поверхности искривляется в двух противоположных направлениях, как чипсы Pringles или седло (другими словами, они имеют отрицательную гауссову кривизну), благодаря спиралям из 7 зажимов. Эти спирали равномерно распределены по вершинам {3, 7}-регулярного псевдомногогранника Готта, повторяющейся поверхности, построенной из равносторонних треугольников, встречающихся по 7 штук,как показано на рисунке.
Если смотреть с другой стороны, эту поверхность можно представить как слегка растянутую шварцевскую минимальную D-поверхность, где D обозначает "алмаз" (diamond).
"Одуванчик"
В этой скульптуре по 72 скрепки каждого цвета (всего 420 скрепок) борются за пространство вокруг плотного шара. 5 или 6 скрепок в каждой звезде соединяются в центральной спирали, что особенно хорошо видно с этого ракурса изнутри шара. Название скульптуры проистекает от того, что звёзды из скрепок напоминают "парашютики", окружающие головку одуванчика.
Звезды-спирали расположены в вершинах многогранника, известного как пентакис-плосконосый додекаэдр, полученный заменой каждого пятиугольника в плосконосом додекаэдре на 5 треугольников, как показано на рисунке (слева). Дуальным образом, каждая звезда-спираль расположена в центре грани многогранника, состоящего из 12 пятиугольников и 60 шестиугольников, как показано на рисунке (справа). Последний многогранник является примером бакибола, и его рёбра естественным образом обозначены в скульптуре "Одуванчик" (две скрепки обозначают одно ребро). 12 белых звёзд соответствуют двенадцати пятиугольникам бакибола. Больше о математике бакиболов можно прочитать здесь.
Метод конструирования, использованный в "Одуванчике", можно с лёгкостью использовать для постройки других бакиболов или, в более общем случае, других трёхвалентных многогранников.
"Полное затмение"
Крупный размер, грубая текстура и широкие отверстия или "кратеры" "Полного затмения" делают его похожим на Луну, что частично объясняет название. Это большой полый шар, целиком состоящий из скрепок и ничего больше — из 720 скрепок, если точнее.
Геометрически "Полное затмение" построено из одних треугольников. Основной треугольный элемент состоит из трёх скрепок, напоминающих кольца Борромео из моей скульптуры "Пара коробок". Два соседних элемента соединены, как показано на рисунке, но я не советую делать два элемента и затем пытаться соединить их; вместо этого собирайте и подсоединяйте второй элемент по одной скрепке. Эти треугольные элементы расположены согласно треугольникам в плосконосом усечённом икосаэдре, фигуре, которую также можно увидеть в скульптуре "Звёзды футбола" (однако, эти два плосконосых усечённых икосаэдра имеют противоположную киральность: один является зеркальным отражением другого). В результате отверстия или "кратеры" имеют по 5 или 6 сторон и расположены на гранях футбольного мяча.
В выбранной цветовой схеме скрепки одного цвета не соприкасаются, что придаёт скульптуре кричащий и хаотичный вид. Как ни странно, здесь это достигается с помощью высокоупорядоченной цветовой схемы. Каждое ребро футбольного мяча определяется 8 примерно параллельными скрепками одного цвета, 6 из которых выстраиваются точно поперёк ребра, как показано на этом изображении. Эти группы из 8 скрепок симметрично распределены по футбольному мячу согласно цветовой схеме. Обратите внимание, что на этой схеме каждая пара рёбер одного цвета разделена по меньшей мере двумя другими рёбрами; это гарантирует, что группы скрепок одного цвета достаточно заметно разделены.
"Коробка Борромео"
Кольца Борромео (смотри рисунок) — это удивительное зацепление, состоящее из трёх взаимосвязанных колец. Кольце нельзя разъединить, не разрезав одно из конец или не пропустив его через другие, но, что интересно, если одно из конец удалить, два другие с лёгкостью разойдутся — они не соединены.
Скульптура "Коробка Борромео" сделана из 81 скрепки трёх цветов.
"Зажимы Мёбиуса"
Делая очередной оборот, 110 разноцветных зажимов соединены ручками, образуя структуру, похожую на ленту Мёбиуса. Как и лента Мёбиуса, эта лента имеет одну сторону и одно ребро. Но в то время как настоящая лента Мёбиуса совершает один полуоборот, эта фигура совершает пять.
Ребро, обозначенное телами зажимов, дважды закручивается снаружи и пять раз делает петлю вокруг центрального отверстия. Таким образом, оно называется (5,2)-торическим узлом (в сравнении, ребро ленты Мёбиуса является (1,2)-торическим узлом, что означает, что оно не завязано). Другие варианты названия этого узла — "лапчатка", "печать Соломона" или вариант двойного простого узла с соединёнными концами.
"Плосконосый додекаэдр из скрепок"
Плосконосый додекаэдр сделан из 120 скрепок. Я создал его в ответ на челлендж плосконосых додекаэдров из скрепок от Джорджа Харта, самостоятельно наложив несколько дополнительных ограничений: скрепки должны удерживать себя сами без клея, пайки и тому подобного, а также детали должны быть узнаваемы как скрепки, с как можно меньшим числом модификаций. В этой конструкции половина скрепок согнуты посередине, а вторая половина оставлена невредимой и обозначает центральные треугольники.
Поскольку у скрепок есть "длинная" и "короткая" половины, не все рёбра этого плосконосого додекаэдра имеют одну и ту же длину. Если длинная и коротка половины скрепки имеют длину 1 и e < 1 соответственно, то получится 12 правильных пятиугольников и 30 равносторонних треугольника с длинами сторон 1 и 60 треугольников с длинами сторон {1, 1, e}. Настоящий плосконосый додекаэдр соответствует e = 1, так что все грани правильные. Но варьирование значения e порождает непрерывную последовательность многогранников, простирающуюся от икосододекаэдра при e = 0 до ромбоикосододекаэдра при e = sqrt(2), как показывает анимация. В действительности, у многих скрепок отношение длинной и короткой сторон близко к sqrt(2), поэтому создание этой модели с поменянными местами ролями коротких и длинных концов приведёт к фигуре, сильно напоминающей ромбоикосододекаэдр с диагоналями через квадратные грани.
"Зодиак"
Множество канцелярских зажимов сцеплено между собой, образуя пустотелый шар из 20 шестиугольников и 12 звёзд. Здесь 90 зажимов, но только 120 ручек: у каждого зажима в середине звезды не хватает одной ручки. Если эти ручки поставить на место, структура будет соответствовать полностью усечённому икосаэдру, который получен заменой каждой вершины многогранника "футбольного мяча" (также известного как усечённый икосаэдр) на треугольник. Этот процесс полного усечения более подробно обсуждается для похожей скульптуры "Срезанные углы", в которой используется похожий механизм соединения вершин. Это "полностью усечённый футбольный мяч" не может быть построен, чтобы все грани были правильными, так что он не относится к архимедовым телам.
В своей работе "Тимей" Платон описывает очень точную теорию того, как Вселенная и её стихии построены из пяти правильных многогранников, которые с тех пор называются платоновыми телами. Например, поскольку куб — самый прочный и простой в построении из этих пяти многогранников, то Платон отождествил его с "землёй". С помощью похожих рассуждений он связал "огонь" с тетраэдром, "воду" с икосаэдром и "воздух" с октаэдром. Так как стихий — четыре, а платоновых тел — пять, то одно из них неизбежно выпадает. Вот объяснение Платона: "В запасе осталось ещё пятое многогранное построение, его Бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца" ("Тимей"). Таким образом, 12 граней додекаэдра отождествляются с двенадцатью зодиакальными созвездиями. Мой "Зодиак" подчёркивает это соотношение: звезда (созвездие) расположена в центре каждой из двенадцати граней додекаэдра.
"Натяжение"
Рой разноцветных резинок для волос кружится в танце среди каркаса из палочек от леденцов; конструкция удерживается в хрупком равновесии с помощью их взаимного "перетягивания каната". Вся конструкция довольно мала — 7 см в диаметре, размером с теннисный мяч. Это сделало сборку очень сложной, но оно определённо того стоило.
Палочки естественно образуют форму, напоминающую пять пересекающихся тетраэдров, поэтому фигура обладает киральной додекаэдрической симметрией — по крайней мере, если на различать цвета. А если учитывать цвет, то тут вообще нет симметрии! Действительно, если у каждой палочки есть резинка цвета a по центру и резинки цветов b и c по краям, то каждая из тридцати цветовых комбинаций появится только один раз. Например, передняя палочка на фотографии имеет уникальную комбинацию a = оранжевый и {b, c} = {красный, синий}. Симметрии додекаэдра порождают только чётные перестановки, что позволяет комбинаторно отождествить группу додекаэдра со знакопеременной группой A5.
Несмотря на название, эта фигура не относится к тенсегрити, которая требует, чтобы все силы были исключительно силами сжатия или растяжения. Действительно, и тросы (резинки), и стержни (палочки) испытывают сгибающие силы, которые не являются чисто силами сжатия или растяжения, например, когда трос тянет на себя середину стержня или два стержня соприкасаются и давят друг на друга. Также модель тенсегрити не учитывает толщину резинок и палочек, которая, по-видимому, здесь существенна. Эти обстоятельства серьёзно усложняют вопросы типа следующего: "Будет ли эта симметричная конфигурация находиться в устойчивом равновесии в отсутствии трения?"
Палочки действительно имеют плачевную тенденцию немного сдвигаться с места, но это, возможно, связано с изменением силы резинок.
"Трёхшпажник"
Подмножество бесконечной повторяющейся конфигурации переплетённых цилиндров, сделанное из 144 шпажек, соединённых с помощью клея. Шпажки образуют четыре одинаковые пересекающиеся треугольные призмы, давая фигуре киральную тетраэдрическую симметрию — или киральную кубическую симметрию, если не различать острые и тупые концы. Высокая плотность упаковки и и повторяющаяся схема решётки создают гипнотические сети проходов через скульптуру.
"72 карандаша" Джорджа Харта послужили источником вдохновения для этой скульптуры, но между ними есть важное математическое различие: они основаны на разных бесконечных конфигурациях цилиндров! Самое простое различие, бросающееся в глаза, — это то, что в "Трёхшпажнике" каждая шпажка входит в треугольное отверстие, образованное другими шпажками (смотри фото). В "72 карандаша" эти отверстия шестиугольные. По этой причине эти цилиндрические конфигурации называются тристаками и гексастаками соответственно в книге Джона Конвея "Симметрии вещей" (если бы концы шпажек или карандашей были бы неразличимыми, то они бы назывались тристиками и гексастиками).
Вы можете спросить, действительно ли клей необходим, чтобы подобная конструкция могла поддерживать себя. Может быть, достаточно сложное переплетение шпажек может создать жёсткую конструкцию? В скульптуре "Трёхшпажник" каждая шпажка может выскользнуть, оставив остальные шпажки на месте, поэтому эта структура неустойчива без клея. Любопытно, что это справедливо для любой конструкции из шпажек, и в более общем случае, все конфигурации неперекрывающихся выпуклых (или звездообразных) областей неустойчивы и могут быть полностью разрушены с помощью непрерывных перемещений без перекрытий. Разделяющее перемещение можно построить, если, грубо говоря, элементы будут линейно "разлетаться" от выбранного центра.
"Многомногомногогранник"
"Многомногомногогранник" — это упорядоченный хаос 60 связанных друг с другом пластиковых стержней. Стержни собраны в шесть групп по 5 и десять групп по 3, где стержни из каждой группы прокладывают путь через загруженную центральную развязку, а их концы связаны друг с другом с помощью резинок. Все группы из пяти стержней одинаковы, так же как и все группы из трёх стержней: фигура обладает додекаэдрической симметрией.
Если мы посмотрим только на группы их пяти стержней, то они образуют конфигурацию скульптуры "Чёрная дыра". Как здесь описано, этот узор можно получить, если поместить стержни вдоль каждого ребра воображаемого додекаэдра и затем поворачивать их на одинаковый угол, пока не получатся группы по пять почти параллельных стержней. Конфигурацию из групп по три стержня можно получить аналогичным образом, используя другой угол поворота. Так что каждое ребро нашего воображаемого додекаэдра даёт начало двум стержням: одному в группе по пять и одному в группе по три, и, на самом деле, эти стержни соприкасаются посередине (причём стержень из группы по 3 — дальше от середины).
Группы по пять стержней пересекаются, образуя фигуру, описанную Робертом Лэнгом и названную многомногогранником, потому что она является соединением нескольких одинаковых многогранников. Он показал, что существует в точности 54 многомногогранника. Соединение, образованное группами по 5 стержней, соответствует многомногограннику № 12. Подобным образом, группы по 3 стержня объединяются, образуя многомногогранник № 20. Название моей скульптуры логично проистекает из того, что она состоит из нескольких многомногогранников.
Сайт Закари Абеля со скульптурами: zacharyabel.com/sculpture/
Закари Абель
Призываю в это пост Oh, Ramona.
Любите ли вы геометрию так, как её любит преподаватель информатики MIT Закари Абель? Математика — повсюду вокруг нас, и это вдохновляет Абеля на создание геометрических скульптур из обыденных предметов. Ниже — подборка из десяти моих любимых скульптур. Надеюсь, они позволят и вам почувствовать красоту математики.
Заходи по кат!
Сайт Закари Абеля со скульптурами: zacharyabel.com/sculpture/
Любите ли вы геометрию так, как её любит преподаватель информатики MIT Закари Абель? Математика — повсюду вокруг нас, и это вдохновляет Абеля на создание геометрических скульптур из обыденных предметов. Ниже — подборка из десяти моих любимых скульптур. Надеюсь, они позволят и вам почувствовать красоту математики.
Заходи по кат!
Сайт Закари Абеля со скульптурами: zacharyabel.com/sculpture/